図形の角度（三角形・多角形・円の角度）｜算数クイズ対策
三角形の角度
- 三角形の内角の和＝180°
- 外角＝隣り合わない2つの内角の和
例：三角形の2つの角が50°と70°なら残りの角＝180−50−70＝60°
三角形の1つの外角は、その角と隣り合わない2つの内角の和に等しい。
多角形の内角の和
n角形の内角の和＝(n−2)×180°
| 図形 | 内角の和 | 正多角形の1つの角 |
|---|---|---|
| 三角形（3角形） | 180° | 60° |
| 四角形（4角形） | 360° | 90° |
| 五角形（5角形） | 540° | 108° |
| 六角形（6角形） | 720° | 120° |
円の角度
中心角と円周角
- 同じ弧（弧AB）に対して、円周角は中心角の半分
- 同じ弧に対する円周角はすべて等しい
特別な角度
- 直径に対する円周角は常に90°（直径を弦とする円周角）
「円の中心を通る角度が80°のとき、同じ弧の円周角は？」→ 80÷2＝40°。逆も覚える（円周角から中心角は×2）。
合同・相似の条件
三角形の合同条件（3つ）：
- 3辺がそれぞれ等しい（SSS）
- 2辺とその間の角が等しい（SAS）
- 1辺とその両端の角が等しい（ASA）
三角形の相似条件（3つ）：
- 3辺の比がそれぞれ等しい
- 2辺の比が等しく、その間の角が等しい
- 2つの角がそれぞれ等しい
平行線と角度の関係
| 関係 | 説明 |
|---|---|
| 同位角 | 平行線を横切る直線の同じ側にある角。等しい |
| 錯角（さっかく） | 平行線の内側で互い違いにある角。等しい |
| 同側内角 | 平行線の内側で同じ側にある角。合計180° |
錯角はZ形、同位角はF形、同側内角はC形の関係と覚えると図形で探しやすい。
ピタゴラスの定理
直角三角形で、斜辺をc、他の2辺をa・bとすると：a²＋b²＝c²
よく使う三角形の辺の比（ピタゴラス数）：3:4:5、5:12:13、8:15:17。
特別な直角三角形：45°-45°-90°（1:1:√2）、30°-60°-90°（1:√3:2）。これらは必ず暗記しておくと計算が楽になる。
証明の書き方と典型問題
図形の証明は以下の形式で書く：仮定→根拠となる条件の確認→結論の順。
- 「△ABCと△DEFにおいて、AB＝DE（仮定）、BC＝EF（仮定）、∠ABC＝∠DEF（仮定）より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABC≡△DEF」
- 円の性質を使った証明：「同一円上の弧に対する円周角は等しい」「直径に対する円周角は90°」がよく使われる
中点連結定理：三角形の2辺の中点を結んだ線分は、第三辺に平行で、第三辺の半分の長さ。入試で頻出の定理なので図形問題で意識しておこう。
図形の試験対策まとめ
よく使う定理まとめ：三平方の定理（直角三角形・a²+b²=c²）・中点連結定理（中点同士を結ぶと辺の半分）・メネラウスの定理・チェバの定理（三角形内の線分の比）。作図の基本：①線分の垂直二等分線（コンパスで2点等距離の点を結ぶ）②角の二等分線（角の辺から等距離の点を結ぶ）③垂線（点から直線への最短距離）。円の接線の性質：円の接線は接点を通る半径に垂直。2接線の長さは等しい（外部の点から引いた2接線）。証明問題の鉄則：仮定（条件）から始めて、使う定理を根拠として明記し、結論を導く。省略は不可。
座標と図形の融合問題
座標平面上の図形問題（高校入試レベル）：三角形の面積は底辺×高さ÷2。高さは点から直線への距離。直線の傾きと切片：y＝ax＋bのaが傾き（x1増えるとyがa増える）、bがy切片。2点の座標から直線の式を求める：傾きa＝(y₂−y₁)÷(x₂−x₁)→切片b＝y₁−ax₁。図形と関数を組み合わせた問題は、まず図を書いて座標を確認することが解法の第一歩。