算数解説
整数・素数・公倍数・公約数の求め方｜算数クイズ対策
整数の基本用語
| 用語 | 説明 | 例 |
|---|---|---|
| 偶数 | 2で割り切れる整数 | 2,4,6,8,10… |
| 奇数 | 2で割り切れない整数 | 1,3,5,7,9… |
| 素数 | 1と自身以外で割り切れない2以上の整数 | 2,3,5,7,11,13… |
✅ 1は素数ではない！
素数は「1と自分以外に約数がない2以上の自然数」。1は素数に含まれない。最小の素数は2（唯一の偶数の素数）。
素数は「1と自分以外に約数がない2以上の自然数」。1は素数に含まれない。最小の素数は2（唯一の偶数の素数）。
公倍数と最小公倍数（LCM）
2つ以上の整数に共通する倍数を公倍数といいます。その中で最も小さいものが最小公倍数です。
求め方
12と18の最小公倍数：
12＝2²×3、18＝2×3² → 2²×3²＝36
（各素因数の最大のべき乗をかける）
公約数と最大公約数（GCD）
2つ以上の整数に共通する約数を公約数といいます。その中で最も大きいものが最大公約数です。
求め方（ユークリッドの互除法）
48と36の最大公約数：
48＝36×1＋12 → 36＝12×3＋0 → 最大公約数＝12
⚠ 分数の約分に使える
最大公約数を使って分数を約分できる。例：48/36 → 12で割る → 4/3
最大公約数を使って分数を約分できる。例：48/36 → 12で割る → 4/3
素数と素因数分解
素数とは1と自分自身以外に約数を持たない整数。2・3・5・7・11・13・17・19・23・29…
1は素数ではない。2は唯一の偶数の素数。
素因数分解：整数を素数のかけ算で表す。例：36＝2²×3²、60＝2²×3×5
✅ 樹形図で素因数分解
割り切れる素数で順番に割っていく（2→3→5→7の順）。最後が1になったら終わり。
割り切れる素数で順番に割っていく（2→3→5→7の順）。最後が1になったら終わり。
最大公約数・最小公倍数の求め方
素因数分解を使う方法：
- 最大公約数（GCD）：共通する素因数を取り出し、指数が小さい方を使う
- 最小公倍数（LCM）：すべての素因数を取り出し、指数が大きい方を使う
例：12＝2²×3、18＝2×3²のとき、GCD＝2×3＝6、LCM＝2²×3²＝36
公式：GCD×LCM＝2つの数の積（例：12×18＝216＝6×36）
整数の性質と割り算の余り
整数aをbで割った商をq、余りをrとすると：a＝bq＋r（0≦r＜b）
- 偶数：2で割り切れる整数（…−4、−2、0、2、4…）
- 奇数：2で割ると余りが1の整数（…−3、−1、1、3…）
- 偶数＋偶数＝偶数、偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数
- 偶数×何か＝偶数（必ず）、奇数×奇数＝奇数
整数問題の解き方パターン
整数問題でよく使うテクニック：
- 連続する整数：n、n+1、n+2…と置く。連続する2つの奇数はn、n+2と置く
- 各位の数：十の位がa、一の位がbの2桁の整数は10a＋b
- 倍数の判定：2の倍数→一の位が偶数、3の倍数→各位の和が3の倍数、5の倍数→一の位が0か5、9の倍数→各位の和が9の倍数
- ユークリッドの互除法：大きな数の最大公約数を求める効率的な方法
整数の試験対策まとめ
入試頻出パターン：2つの数の最大公約数をGCD、最小公倍数をLCMとすると LCM＝GCD×(a/GCD)×(b/GCD)。「2つの数の積＝GCD×LCM」を利用した問題。約数の個数：素因数分解でp^a × q^b × r^c…と表せるとき、約数の個数は(a+1)(b+1)(c+1)…個。例：36＝2²×3²の約数は(2+1)(2+1)＝9個。平方数（完全平方数）：1・4・9・16・25・36・49・64・81・100。素因数分解したとき全ての指数が偶数。整数の問題は素因数分解が突破口になることが多い。問題を見たら「素因数分解できるか？」を最初に確認しよう。