SPI 学習ページ｜CH04 場合の数と確率

席決め・塗り分け・円・重複

円いテーブルの座り方

円いテーブルに座る並びは、回して重なるものを同じと数えます。n人が円にならぶ数は、(n－1)の階乗です。5人なら4×3×2×1＝24通りです。

席に目印があり、席ごとに区別できるときは、回して重ならないので、n人の座り方は(nの階乗)通りです。「席が区別されるか」を、問題文で確かめます。

席より人数が少ないときは、空席を数えるかどうかも条件です。

円の並びは(n－1)の階乗。席に目印があれば普通にならべる

となりあう場所は別の色にする塗り分けは、塗る順を決めて、1か所ずつ「使える色の数」を掛けます。

最初の場所はc通り、次はとなりと別の色でc－1通り、というように進めます。となりあう場所が多いところを先に塗ると、数えやすくなります。

となりが多い場所から塗る順を決めて、使える色を掛ける

同じものを何度使ってもよい並べ方は、各位置に選べる数を掛けます。3種類の旗を2本ならべるなら、3×3＝9通りです。

順番を区別せずに、重なりを許して選ぶ数は、種類をn、個数をrとして、(n＋r－1)から r個を選ぶ組み合わせで求めます。3種類から重ねて2個選ぶなら、4から2個選ぶ組み合わせで6通りです。

重ねてよい順列は、選べる数を位置の数だけ掛ける

同じものが何個か含まれる並べ方は、全部を区別してならべた数を、同じものの並べ方でわります。

A,A,B,B,C を一列にならべる＝ 5! ÷ (2! × 2!) ＝ 120 ÷ 4 ＝ 30通り

同じものの並べ方の数で、全体の並べ方をわる

順列・組み合わせ【席決め・塗り分け】(本番と同じ形の例題。数字は練習のたびに変わります)

P、Q、Rの3人が、①〜④の番号がついた4つの席がある円形のテーブルに1人ずつ座る(番号のちがう席は区別する。空席が1つできる)。席は①から順に円く並び、④と①も隣どうし、①の正面は③である。(この問題は3問組です)

問1　PとQが隣どうしにならない座り方は何通りあるか。

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正解: F

全部の座り方4P3＝24通りから、隣どうしになる16通りを引いて8通り。8通りはAからEに無いので、正解はF。まちがえやすい点: 円形なので④と①も隣どうし。

問2　PとQが隣どうしに座る座り方は何通りあるか。

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正解: C

隣どうしの2席の選び方は4通り、そこへのPとQの座り方は2通り、残り1人を残り2席に並べるのは2P1＝2通り。4×2×2＝16通り。まちがえやすい点: PとQの入れかわり(×2)を忘れると8通りになる。

問3　Pが①の席に座るとき、3人の座り方は何通りあるか。

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正解: B

Pの席が決まれば、残り2人を残り3席に並べる。3P2＝6通り。まちがえやすい点: Pの席も動かして24通りと数えない。

順列・組み合わせ【重複・円・応用】(本番と同じ形の例題。数字は練習のたびに変わります)

10円、20円、50円の3種類の切手がたくさんある。ここから4枚を選んで切手のセットを作る。どの種類も最低1枚は選ぶとき、選び方は何通りあるか。

正しいものをAからFの中で1つ選びなさい。

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正解: C

先に各種類を1枚ずつ選び、残り1枚を3種類から重複を許して選ぶ。3＋1−1C1＝3通り。まちがえやすい点: 「最低1枚」を忘れて4枚全部を重複組み合わせで数えると15通りになる。

読んだところを、本番と同じ形の問題で思い出してみましょう。数字や条件は、練習のたびに変わります。

SPIの出題内容は公開されていません。このページは、算数・国語の一般的な解き方と、SPI対策の参考書の範囲をもとに、自分たちの言葉で整理したものです(2026年10月確認)。どこから読むかはSPIの勉強の順番にまとめています。