SPI 学習ページ｜CH04 場合の数と確率

並べ方と選び方

順列か組み合わせかを見分ける

順列は、順番や役の違いが結果を区別する数え方です。組み合わせは、選ぶだけで順番を区別しない数え方です。

見分けるには、選んだあとで「入れ替えたら別の結果になるか」を考えます。3人から会長と副会長を選ぶなら、入れ替えると別の結果になるので順列です。3人から委員を2人選ぶなら、入れ替えても同じなので組み合わせです。

入れ替えて別の結果になるなら順列。同じなら組み合わせ

n人からr人を順に選んでならべる数は、nから1ずつ小さくした数を、r個掛けます。

5人から3人を順にならべる＝ 5 × 4 × 3 ＝ 60通り

5人全員をならべる＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ＝ 120通り(5の階乗)

順列は、大きい数から1ずつ減らして、必要な個数だけ掛ける

組み合わせは、順列の数を、選んだ人の並べ方の数でわります。

5人から2人を選ぶ＝ (5 × 4) ÷ (2 × 1) ＝ 10通り

「選ぶ」ことと「残す」ことは同じなので、5人から3人を選ぶ数も10通りです。数が大きいときは、少ないほうで考えます。

組み合わせは、順列を選んだ人数の階乗でわる

「Aをして、続けてBをする」ときは、それぞれの方法の数を掛けます。シャツ3種類とズボン2種類なら、組み合わせは3×2＝6通りです。

「AまたはB(同時にはしない)」のときは、それぞれの数を足します。場合分けして数えるときは、場合ごとの数を足して合計します。

続けて行うなら掛ける。別々の場合なら足す

2つのグループから、それぞれに役や人を選ぶ問題では、グループごとに数えて掛けます。

同じ人が両方の役に入れないのか、入れてよいのかを、問題文で確かめます。重ならないように、先に選ぶ人数の多いグループから数えると、数え間違いが減ります。

グループごとに数えて掛ける。重なりの条件を確かめる

順列・組み合わせ【並べ方と選び方】(本番と同じ形の例題。数字は練習のたびに変わります)

ある委員会のメンバーは、1年生4人と2年生4人の合わせて8人である。(この問題は3問組です)

問1　1年生から2人、2年生から1人を選ぶ選び方は何通りあるか。

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正解: A

1年生の選び方 4C2＝6通りと、2年生の選び方 4通りをかけて24通り。まちがえやすい点: かけずに足すと10通りになる。

問2　8人の中から、代表と副代表を1人ずつ選ぶ選び方は何通りあるか。

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正解: F

代表と副代表は区別するので順列。8×7＝56通り。56通りはAからEに無いので、正解はF。まちがえやすい点: 組み合わせで数えると28通りになる。

問3　8人の中から3人を選ぶとき、2年生を少なくとも1人入れる選び方は何通りあるか。

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正解: B

全体の8C3＝56通りから、2年生を1人も入れない4C3＝4通りを引いて52通り。まちがえやすい点: 2年生を1人決めてから残りを選ぶと重なって数えてしまう(84通り)。

読んだところを、本番と同じ形の問題で思い出してみましょう。数字や条件は、練習のたびに変わります。

SPIの出題内容は公開されていません。このページは、算数・国語の一般的な解き方と、SPI対策の参考書の範囲をもとに、自分たちの言葉で整理したものです(2026年10月確認)。どこから読むかはSPIの勉強の順番にまとめています。